خانوادهای از حلقههای خارج قسمتی جبر ریس وابسته به یک حلقه جابجایی بررسی شده است .این خانواده هم مفهوم ابتدایی ایدهآلسازی ناگاتا و هم مفهوم تضعیف ادغامی یک حلقه را تعمیم میدهد .نشان داده شده است که بعضی از خواص حلقههای این خانواده به عضوی خاص از آن خانواده بستگی ندارد
A family of quotient rings of the Rees algebra associated to a commutative ring is studied. This family generalizes both the classical concept of idealization by Nagata and a more recent concept, the amalgamated duplication of a ring. It is shown that several properties of the rings of this family do not depend on the particular member